Les travaux que je conduis depuis plus de quinze ans en didactique des mathématiques1 sur l’articulation entre logique, langage, et raisonnement mathématique aux différents niveaux d’enseignement, depuis l’école primaire jusqu’à l’université, s’appuient de manière essentielle sur les interactions entre analyses épistémologique et didactique. Ce travail s’inscrit dans une perspective développée, entre autres, par Michèle Artigue pour qui « l’on a vu l’analyse épistémologique aider la didactique à se déprendre de l’illusion de transparence des objets qu’elle manipule au niveau du savoir (…). » (Artigue, 1991, Épistémologie et didactique, Recherches en didactique des mathématiques, 10/2.3, 241-285, p.245)

Dans cette communication, je me propose de montrer comment les analyses épistémologiques, en référence à la philosophie de la logique, éclairent et nourrissent les analyses didactiques que je conduis sur l’articulation entre logique et raisonnement mathématique2. J’ai choisi pour cela comme fil conducteur la dualité vérité /validité qui traverse tout l’histoire de la logique depuis Aristote. Dans les deux premières parties, je centrerai mon propos sur deux auteurs dont les apports sont décisifs dans la perspective didactique qui est la mienne. Le premier auteur est Wittgenstein, celui du Tractatus qui élucide, pour le calcul des propositions, les liens entre lois logiques et déduction; le second est Tarski qui, en introduisant le concept de conséquence logique d’un point de vue sémantique, permet d’étendre à la logique des prédicats du premier ordre les avancées de Wittgenstein. Dans la dernière partie, je m’attacherai à montrer l’intérêt d’un point de vue sémantique sur la vérité et la validité logique pour étudier le raisonnement mathématique dans une perspective didactique.

Dans le Tractatus, Wittgenstein, élabore un système formel non axiomatisé dont l’élément de base est la variable propositionnelle qui s’appuie sur deux principes :

 Le principe de bivalence stricte pour les variables propositionnelles ou propositions élémentaires.

 Le principe d’extensionnalité : la valeur de vérité d’une proposition complexe dépend exclusivement de la valeur de vérité des propositions élémentaires qui la composent.

A partir de là, il définit la notion de tautologie, énoncé du système formel qui prend la valeur vraie pour toute distribution de valeur de vérité. Ceci lui permet de mettre en lumière la différence entre la proposition logique, qui est un énoncé vrai du système formel, autrement dit une tautologie, et la proposition non logique qui permet de parler du monde et qui « est vraie si les états de choses sont tels que nous le disons par son moyen » (4.062.). Concernant les applications de la logique à l’analyse du raisonnement mathématique, une avancée très significative par rapport à ses prédécesseurs (en particulier Frege et Russell) est apportée par l’élucidation des liens entre tautologie et déduction : une proposition p suit d’une proposition q si tous les arguments de vérité qui vérifient q vérifient également p (5.12.). En d’autres termes, le conditionnel dont q est l’antécédent et p le conséquent est une tautologie. Ceci lui permet ensuite d’affirmer la différence entre les preuves en logique et les preuves  logiques des propositions non logiques (6.1263).

Cette différence est tout à fait fondamentale pour l’étude du raisonnement mathématique puisqu’en en effet, en mathématiques, on établit des preuves pour des propositions ayant un sens, renvoyant à un certain état de choses dans une théorie donnée, et non pas des preuves de logique. Ceci pourrait en partie expliquer le fait constaté à maintes reprises qu’un apprentissage des techniques de preuves logique « mécaniques » comme, par exemple, la construction des tables de vérité ne permette pas d’améliorer les compétences dans le raisonnement mathématique4.

En outre, compte tenu du fait que la plupart des règles d’inférence classiques peuvent être associées à de telles tautologies, le système construit par Wittgenstein peut être considéré comme une théorie de l’inférence valide pour le calcul des propositions, ce qui sera repris et popularisé par Quine5.

Cependant, comme le soulignent de nombreux auteurs , le calcul des propositions est insuffisant pour l’analyse logique du raisonnement mathématique, et nous avons besoin d’une théorie de l’inférence valide pour le calcul des prédicats. C’est le problème que va résoudre Tarski en élaborant une théorie sémantique de la vérité.

La notion de conséquence logique chez Tarski

Dans un article célèbre de 19366, Tarski se propose de résoudre le problème difficile de la définition récursive de la vérité dans les langages formalisés en introduisant la notion centrale de satisfaction d’une fonction propositionnelle par un élément de l’univers du discours. Il développe ainsi une théorie sémantique de la vérité permettant d’étendre les avancées de Wittgenstein à tous les systèmes formels, et en particulier à la logique des classes et au calcul des prédicats du premier ordre, selon deux directions : en proposant une définition sémantique de la vérité pour les langages formalisés qui fait l’économie d’une axiomatique ; en introduisant le concept sémantique de conséquence logique qui apparaît comme une généralisation au calcul des prédicats du concept d’implication entre schémas propositionnels introduit dans le Tractatus, et ce bien qu’il ne soit fait aucune référence explicite aux travaux de Wittgenstein. Dans cet article de 1936, Tarski se propose de construire une théorie sémantique de la vérité qui soit matériellement adéquate et formellement correcte. Il introduit pour cela le concept de satisfaction d’une phrase ouverte par un élément ou une suite d’éléments d’une structure interprétative donnée, concept qu’il met en lien avec la notion de vérification d’une équation par un élément dans l’algèbre scolaire. Il donne alors une définition récursive de la satisfaction qui généralise la méthode des tables de Wittgenstein dans la mesure où la notion de la satisfaction d’une formule complexe par une suite d’objets dépend exclusivement de la satisfaction des formules atomiques qui la composent. Les règles pour les connecteurs logiques sont obtenues comme extension aux fonctions propositionnelles des règles correspondant aux connecteurs propositionnels, les règles concernant les deux quantificateurs sont en accord avec leur usage ordinaire. Le concept de satisfaction proposé par Tarski fournit une méthode précieuse et efficace pour établir la vérité de propositions obtenues à partir de fonctions propositionnelles, soit comme instance d’une telle fonction propositionnelle, soit en liant toutes les variables libres par des quantificateurs. Ceci permet de définir la notion de modèle d’une formule : une structure interprétative dans laquelle la formule est satisfaite par tout suite d’objets ; et par suite le concept sémantique de conséquence logique : une formule G est conséquence logique d’une formule F si tout modèle de F est un modèle de G. Par sa proximité avec la notion de vérité du sens commun, la théorie élaborée par Tarski offre un appareillage technique que le mathématicien peut, a priori, s’approprier sans difficulté. Pourtant, en dehors des spécialistes de la théorie des modèles et de certains philosophes de la logique, il ne semble pas que cette théorie ait eu la diffusion à laquelle elle aurait pu prétendre. J’en veux pour preuve l’importance de la place occupée dans de nombreux travaux, tant en psychologie cognitive qu’en didactique des mathématiques par la théorie des fonctions de vérité du calcul des propositions comme théorie logique de référence. Dans mon propre travail, j’en ai éprouvé à maintes reprises l’efficacité, ce que je me proposerai d’illustrer dans cette dernière partie.

L’implication, une notion complexe et polysémique

Les travaux de Wittgenstein et Tarski permettent de mettre à jour la complexité de la notion d’implication, et, par là, d’éclairer les difficultés liées à l’utilisation de ce connecteur, difficultés repérées aussi bien dans les travaux de psychologie cognitive7 que dans les travaux de didactique des mathématiques. Lorsque je me suis intéressée à ces questions dans le cadre de mon travail de recherche en didactique des mathématiques, la lecture de ces travaux a laissé apparaître que, si les auteurs font pratiquement tous référence à la logique classique, ces références sont, d’une manière générale, peu approfondies. Il semblait y avoir un hiatus entre les difficultés mentionnées par les auteurs, et l’apparente simplicité de l’objet « implication ». Les recherches que j’ai conduites dans le cadre de ma thèse montrent que d’une manière générale, la complexité de la notion d’implication est largement sous-estimée dans la classe de mathématiques. En effet, les différentes notions : conditionnel courant, implication matérielle, implication formelle, implication ouverte8, Modus Ponens, implication au sens de Quine9, sont le plus souvent indifférenciées et naturalisées sous la forme de ce que de nombreux professeurs appellent un « si, alors »10. Dans cette dernière partie, j’illustrerai sur quelques exemples ce qu’apporte la prise en compte d’un point de vue sémantique dans le calcul des prédicats pour une analyse didactique du raisonnement mathématique. Je montrerai en particulier que la prise en compte des phrases ouvertes et de leurs instances permet d’une part de relativiser le dogme selon lequel dans la classe de mathématique, on doit toujours trancher de manière radicale entre le vrai et le faux et d’autre part de mettre en lumière le fait qu’une part importante de l’activité mathématique porte sur les objets, leurs propriétés et les relations entre les objets ; une conséquence et non des moindres étant que ceci permet de réduire la distance supposée entre logique de sens commun et logique formelle. Je montrerai également que les pratiques ordinaires des enseignants de mathématiques tendent à obscurcir la nature des relations logiques à l’œuvre dans l’activité mathématique.

Références

Aristote, L’Organon, Livre II : De l’interprétation, Traduction Jean Tricot, Paris : Vrin, 1989.

Artigue, M. (1991) Epistémologie et Didactique in Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol 10/2.3. 241-285.

Blanché, R. (1970) La logique et son histoire d’Aristote à Russell. Paris : Armand Colin

Durand-Guerrier, V. (2003) Which notion of implication is the right one ? From logical considerations to a didactic perspective, Educational Studies in Mathematics 53, 5-34.

Durand-Guerrier, V. (2005) Recherches sur l’Articulation entre la logique et le raisonnement mathématique dans une perspective didactique. Un cas exemplaire de l’interaction entre analyses épistémologique et didactique. Apports de la théorie élémentaire des modèles pour une analyse didactique du raisonnement mathématique, IREM de Lyon.

Ghodbane-Kéfi, Y. (2001) L’autonomie du langage dans le Tractatus, in Ouelbani, M. (ed.) Cinquantenaire Ludwig Wittgenstein, Université de Tunis.

Granger, G.G. (1990) Invitation à la lecture de Wittgenstein, Aix-en-Provence : Alinea.

Engel, P. (1989) La norme du vrai, Philosophie de la logique, Paris : Gallimard.

Marion, M. (2004), Ludwig Wittgenstein. Introduction au Tractatus logico-philosophicus, Paris, Presses Universitaires de France.

Quine, W.V.O. (1950) Methods of logic, Holt, Rinehart & Winston; Tr.  Fr. Méthodes de logique, Paris : Armand Colin, 1972.

Rey, B. (1994) Les compétences transversales, illusion ou utopie ? Etude sur la pertinence de l’usage de la notion de compétence transversale dans le discours pédagogique contemporain, thèse de l’université Lumière-Lyon2.

Rogalski, M. & Rogalski, J. (2004) Contribution à l’étude des modes de traitement de la validité de l’implication par de futurs enseignants de mathématiques, in Annales de Didactique et de Sciences Cognitives Vol.9, Actes du colloque Argentoratum de juillet 2002, 175-203.

Schmitz, J. (1998) Wittgenstein et la philosophie des mathématiques, Paris : PUF.

Sinaceur, H. (1991) Corps et modèles, Paris : Vrin

Tarski, A. (1936a) Le concept de vérité dans les langages formalisés, tr. fr. in Logique, sémantique et métamathématique, volume 1 : 157-269. Paris : Armand Colin, 1972.

Tarski, A. (1936b) Sur le concept de conséquence, tr ; fr. in Logique, sémantique et métamathématique, volume 1 : 141-152. Paris: Armand Colin, 1974.

Wittgenstein, L. (1921) Tractatus logico-philosophicus. Annalen der naturphilosophie, Leipzig; tr.fr., Paris : Gallimard, 1993.

 

Notes

1 La didactique des mathématiques se fixe pour but d'élaborer et de tester expérimentalement des théories permettant de décrire, comprendre, et expliquer les phénomènes d'enseignement (travail de l'enseignant) et d'apprentissage (travail de l'élève) des mathématiques ( Arsac, G. & Brun, J. 1997, 'Didactique des Mathématiques et Théories de l'Apprentissage', in Legrand,P. dir. Profession enseignant. Les maths au collège et au lycée. Paris : Hachette. 29!-315.

2 Cf. Durand-Guerrier, V. 2005, Recherches sur l’articulation entre la logique et le raisonnement mathématique dans une perspective didactique. Un cas exemplaire de l’interaction entre analyses épistémologique et didactique. Apports de la théorie élémentaire des modèles pour une analyse didactique du raisonnement mathématique ; note de synthèse pour l’habilitation à diriger les recherches, Université Lyon 1.

3 Ce qui suit est développé dans Durand-Guerrier, V. Lire le Tractatus dans une perspective didactique, à paraître in

4 Voir par exemple Noirfalise 1991, pp47-55; Rey,1994, pp230-238.

5 Par exemple, Quine, v.W.O. 1950, 1972, Méthodes de logique.

6 Le concept de vérité dans les langages formalisés, traduction française in Tarski, 1972, pp.157-269.

7 Voir par exemple Engel, P., 1989, La norme du vrai. Philosophie de la logique, Gallimard

8 Ces deux termes sont introduits par Russell dans les Principes de la mathématique (RUSSELL, B. (1903) Les principes de la mathématique, traduction française in RUSSEL, Ecrits de logique philosophique. PUF: Paris 1989) ; l’implication matérielle désigne la relation entre propositions, tandis que l’implication formelle correspond à la clôture universelle de l’implication entre fonctions propositionnelles. L’implication ouverte désigne l’implication entre fonction propositionnelle. Elle permet d’articuler implication formelle et implication matérielle.

9 Dans Méthodes de logique, Quine soutient que le terme d’implication devrait être réservé à la relation entre schémas propositionnels correspondant à la validité du conditionnel.

10 Ceci est développé dans Durand-Guerrier, V. : 2003, Which notion of implication is the right one ? From logical considerations to a didactic perspective, Educational Studies in Mathematics 53, 5-34.